Selasa, 25 Desember 2012

induksi matematika

INDUKSI MATEMATIKA

  •   Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan 
  •   Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu
  •  Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A   S(n) dengan A Ì N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli
  •  S(n) adalah fungsi propositional

TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

  •  Basis Step                       : Tunjukkan bahwa S(1) benar 
  •   Inductive Step                : Sumsikan S(k) benar  
  •  Akan dibuktikan  S(k) ® S(k+1) benar 
  •   Conclusion                     : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer
  positif
Buktikan bahwa :
N 3 + 2n adalah kelipatan 3
untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :
  •  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
      1 = 13 + 2(1)  ® 1 = 3 , kelipatan 3
  •   Induksi : misalkan untuk n = k  asumsikan k 3 + 2k  = 3x
  • akan dibuktikan Untuk n = k + 1 berlaku
(k + 1)3  + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
       Induksi
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3
Untuk setiap bilangan bulat positif n

Jumat, 14 Desember 2012

Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

1.   Pengertian persamaan linier
Persamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan ( relasi ) sama dengan.Sedangkan persaman linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu’
Bentuk umum : a x + b = c     dimana a, b є R . a ≠ o
  a = koefisien dari x
  x = variabel
  b = konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan linier biasanya digunakan sifat kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama atau kedua ruas dikali atau dibagi bilangan yang sama.
Contoh 1
a.   2x + 5 = 25
2x + 5 – 5 = 25 -5   ( kedua ruas di kurangi 5 )
2x = 20
2x : 2 = 20 : 2         ( kedua ruang di bagi 2 )
x = 10
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linier berarti mencari harga yang memenuhi untuk penggati variabel pada persamaan linier yang bersangkutan
2.   Pengertian Pertidaksamaan Linier
Bentuk umum : a x + b > 0, a x + b > 0, a x + b < 0, a x + b < 0. ; a,b є R, a ≠ 0
a = Koefisien dari x
x = Variabel
b = Konstanta
R = salah satu relasi pertidaksamaan ( <, >, ≥, ≤ )

Pertidaksamaan linier adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat satu
Sifat – sifat pertidak samaan linier :
a. Kedua ruas pertidaksamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
b.Sebuah pertidaksamaan tidak berubah tandanya apabila kedua rasanya dikali atau dibagi bilangan positif yang sama.
c. Sebuah pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruasnya  dikali atau dibagi bilangan negatif yang sama.
Contoh Soal
a.  2x + 3 ≤ 9
2x + 3 – 3 ≤ 9 – 3
2x ≤ 6
2x : 2 ≤ 6 : 2
x ≤ 3
Hp = { x / x ≤  3, x є R }

RELASI DAN FUNGSI


A.
Relasi

1.
Pengertian Relasi
        Sebelum mempelajari Relasi, kita harus menguasai materi prasyaratnya yaitu : himpunan, anggota himpunan, dan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Contoh :
        Pak Teguh mempunyai tiga orang anak, yaitu Doni, Pipit, Dimas. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolahraga yang berbeda-beda.
Doni gemar berolah raga voly dan renang.
Pipit gemar berolah raga voly,
Dimas gemar berolah raga basket dan sepak bola.
Sedangkan Doni dan Pipit mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu voly. Jika anak-anak Pak Teguh dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Doni, Pipit, Dimas.

Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai
A = {Doni, Pipit, Dimas}.
Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Teguh dapat dikelompokan dalam himpunan B.
Himpunan B dituliskan
B = {Voly, Renang, Basket, Sepak bola}
Terhadap kegemaran anak-anak pak Teguh terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Teguh yang di sebut “relasi”




Cara Menyatakan Suatu Relasi
          Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan
Misalkan:
P = {Dini, Arif, Alyn, Rizky},
Q = {Matematika, IPS, Kesenian, IPA, bahasa Inggris},
dan “pelajaran yang disukai”adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q
a. Dengan Diagram Panah

 
b. Dengan Diagram Cartesius
















c.
Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
           Relasi "pelajaran yang disukai" yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut :

{(Dini, Matematika); (Dini, IPA); (Arif, Matematika); (Arif, Inggris);
(Alyn, Matematika); (Alyn, IPA); (Alyn, Inggris); (Rizky, IPS); (Rizky, Seni)}


2.
   
Fungsi dan Korenpondensi Satu-Satu 
1.
Fungsi Atau Pemetaan
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini!



Setiap anggota A di pasangkan dengan tepat satu (hanya satu) anggota B. Relasi seperti itu dinamakan fungsi atau pemetaan

 
Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah
relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B
A disebut dengan Domain (daerah asal)
A = {1, 3, 5, 7}
B disebut Kodomain (daerah kawan)
B = {0, 2, 4, 6}, sedangkan
Daerah hasil (range) = {0, 2, 6}


Fungsi (pemetaan) dari suatu himpunan ke himpunan lain dapat dinyatakan dengan 3 cara berikut ini:
a. Diagram panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan
Banyak Fungsi (Pemetaan)
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyak anggota himpunan B adalah n(B) = b, maka:
i.
Banyak fungsi yang mungkin dari
A ke B = ba

Contoh:
Banyak fungsi dari himpunan A={1, 2}
ke B={a, b, c} adalah 32 = 9
ii.
Banyak fungsi yang mungkin dari
B ke A = ab

Contoh:
Banyak fungsi dari himpunan
B={a, b, c} ke A={1, 2} adalah 23 = 8

2.
Korespondensi Satu-satu
Pengertian Koresponsi satu-satu
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini!


Himpunan P dikatakan berkoresponsi satu-satu dengan himpunan Q jika setiap anggota P dipasangkan dengan satu anggota himpunan Q, dan setiap anggota Q dipasangkan dengan satu anggota himpunan P
Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari himpunan P ke himpunan Q, banyak anggota himpunan P dan himpunan Q haruslah "sama"
Banyak Korespondensi Satu-satu
Jika n(P) = n(Q) = n, maka banyak semua korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan P dan himpunan Q adalah:
n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
atau
1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n
Contoh:
n(P) = n(Q) = 4
maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin 4 × 3 × 2 × 1 = 244